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静心阁--漳平附小六(6)班

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关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第17讲 数阵图(二)  

2010-01-28 15:57:24|  分类: 三年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ 第17讲 数阵图(二)

  上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题,这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

例1 将1~8这八个数分别填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

分析与解:中间两个数是重叠数,重叠次数都是1次,所以两个重叠数之和为

  21×2-(1+2+…+8)=6。

  在已知的八个数中,两个数之和为6的只有1与5,2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。

  如果两个重叠数为1与5,那么剩下的六个数2,3,4,6,7,8平分为两组,每组三数之和为15的只有

  2+6+7=15和3+4+8=15,

  故有左下图的填法。

  第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  如果两个重叠数为2与4,那么同理可得上页右下图的填法。

例2 将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

分析与解:本题有三个重叠数,即三角形三个顶点○内的数都是重叠数,并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于

  11×3-(1+2+…+6)=12。

  1~6中三个数之和等于12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5。

  如果三个重叠数是1,5,6,那么根据每条边上的三个数之和等于11,可得左下图的填法。容易发现,所填数不是1~6,不合题意。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  同理,三个重叠数也不能是3,4,5。

  经试验,当重叠数是2,4,6时,可以得到符合题意的填法(见右上图)。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

例3 将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○中,使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

分析与解:例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次,由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3,得到每边的三数之和等于

  [(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3

  =(21+重叠数之和)÷3

  =7+重叠数之和÷3。

  因为每边的三数之和是整数,所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是1~6中的数,所以三个重叠数之和只能是6,9,12或15,对应的每条边上的三数之和就是9,10,11或12。

  与例2的方法类似,可得下图的四种填法:

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12

例4将2~9这八个数分别填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

分析与解:四个角上的数是重叠数,重叠次数都是1次。所以四个重叠数之和等于

  18×4-(2+3+…+9)=28。

  而在已知的八个数中,四数之和为28的只有:

  4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。

  又由于18-9-8=1,1不是已知的八个数之一,所以,8和9只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法:

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  “试填”的结果,只有右上图的填法符合题意。

  以上例题都是封闭型数阵图。

  一般地,在m边形中,每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  与“辐射型m-n图只有一个重叠数,重叠次数是m-1”不同的是,封闭型m-n图有m个重叠数,重叠次数都是1次。

  对于封闭型数阵图,因为重叠数只重叠一次,所以

  已知各数之和+重叠数之和

  =每边各数之和×边数。

  由这个关系式,就可以分析解决封闭型数阵图的问题。

  前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图,虽然大多数数阵问题要比它们复杂些,但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析,就能解决很多数阵问题。

例5把1~7分别填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

分析与解:这道题的“重叠数”很多。有重叠2次的(中心数,记为a);有重叠1次的(三个数,分别记为b,c,d)。根据题意应有

  (1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3,

  即 a+a+b+c+d=11。

  因为1+2+3+4=10,11-10=1,所以只有a=1,b,c,d分别为2,3,4才符合题意,填法见右上图。

 

 练习17

  1.把1~8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  2.把1~6这六个数填入右上图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等。

  3.将1~8填入左下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  4.将1~8填入右上图的八个○中,使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。

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  5.将1~7填入右图的七个○,使得每条直线上的各数之和都相等。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  6.把1,3,5,7,9,11,13分别填入左图中的七个空块中,使得每个圆内的四个数之和都等于34。

 第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ  第17讲 数阵图(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

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