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静心阁--漳平附小六(6)班

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关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第29讲 抽屉原理(一)  

2010-01-27 13:43:04|  分类: 四年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第29讲 抽屉原理(一)

  如果将5个苹果放到3个抽屉中去,那么不管怎么放,至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单,如果每个抽屉中放的苹果都少于2个,即放1个或不放,那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3,这与有5个苹果的已知条件相矛盾,因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。

  同样,有5只鸽子飞进4个鸽笼里,那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

  以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”,也叫“鸽笼原理”。

抽屉原理1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

  说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件,那么每一个抽屉中的物品或者是一件,或者没有。这样,n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件,这与有多于n件物品的假设相矛盾,所以前面假定“这n个抽屉中,每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立,从而抽屉原理1成立。

  从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件,最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品,共放入n件物品,此时再放入1件物品,无论放入哪个抽屉,都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了抽屉原理1。

例1某幼儿园有367名1996年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友?

分析与解:1996年是闰年,这年应有366天。把366天看作366个抽屉,将367名小朋友看作367个物品。这样,把367个物品放进366个抽屉里,至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2在任意的四个自然数中,是否其中必有两个数,它们的差能被3整除?

分析与解:因为任何整数除以3,其余数只可能是0,1,2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3的余数属于哪种情形,就将此整数放在那个“抽屉”里。

  将四个自然数放入三个抽屉,至少有一个抽屉里放了不止一个数,也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。

例3在任意的五个自然数中,是否其中必有三个数的和是3的倍数?

分析与解:根据例2的讨论,任何整数除以3的余数只能是0,1,2。现在,对于任意的五个自然数,根据抽屉原理,至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数,于是可分下面两种情形来加以讨论。

  第一种情形。有三个数在同一个抽屉里,即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍,故能被3整除,所以这三个数之和能被3整除。

  第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里,那么每个抽屉里都有数,在每个抽屉里各取一个数,这三个数被3除的余数分别为0,1,2。因此这三个数之和能被3整除。

  综上所述,在任意的五个自然数中,其中必有三个数的和是3的倍数。

例4在长度是10厘米的线段上任意取11个点,是否至少有两个点,它们之间的距离不大于1厘米?

分析与解:把长度10厘米的线段10等分,那么每段线段的长度是1厘米(见下图)。

第29讲 抽屉原理(一) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  将每段线段看成是一个“抽屉”,一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理,至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点(包括这些线段的端点)。由于这两个点在同一个抽屉里,它们之间的距离当然不会大于1厘米。

  所以,在长度是10厘米的线段上任意取11个点,至少存在两个点,它们之间的距离不大于1厘米。

例5有苹果和桔子若干个,任意分成5堆,能否找到这样两堆,使苹果的总数与桔子的总数都是偶数?

分析与解:由于题目只要求判断两堆水果的个数关系,因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。

  对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能,所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形:

  (奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),

  其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性,第二个字表示桔子数的奇偶性。

  将这4种情形看成4个抽屉,现有5堆水果,根据抽屉原理可知,这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数,偶数加偶数仍为偶数,所以在同一个抽屉中的两堆水果,其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。

例6用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色(见右图),每个小方格涂一种颜色。是否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?

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分析与解:用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色,只有下面四种情形:

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  将上面的四种情形看成四个“抽屉”。根据抽屉原理,将五列放入四个抽屉,至少有一个抽屉中有不少于两列,这两列的小方格中涂的颜色完全相同。

  在上面的几个例子中,例1用一年的366天作为366个抽屉;例2与例3用整数被3除的余数的三种情形0,1,2作为3个抽屉;例4将一条线段的10等份作为10个抽屉;例5把每堆水果中,苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4个抽屉;例6将每列中两个小方格涂色的4种情形作为4个抽屉。由此可见,利用抽屉原理解题的关键,在于恰当地构造抽屉。  

 练习29

  1.某班32名小朋友是在5月份出生的,能否找到两个生日是在同一天的小朋友?

  2.班上有50名小朋友,老师至少拿几本书,随意分给小朋友,才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书?

  3.在任意三个自然数中,是否其中必有两个数,它们的和为偶数?

  4.幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机,每个小朋友任意选择两件,那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的?

  5.学校举行开学典礼,要沿操场的400米跑道插40面彩旗。能否找到一种插法,使得任何两面彩旗之间的距离都大于10米?

  6.用红、蓝、黄三种颜色将一个2×7方格图中的小方格涂色(见下图),每个小方格涂一种颜色,每一列的两小格涂的颜色不相同。是否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?

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  7.一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子,颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看,那么至少要取出多少只袜子,才能保证有5双同色的袜子?

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谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

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