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静心阁--漳平附小六(6)班

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关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第25讲 智取火柴  

2010-01-27 13:34:52|  分类: 四年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

 第25讲 智取火柴

  在数学游戏中有一类取火柴游戏,它有很多种玩法,由于游戏的规则不同,取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法,要想取胜,一定离不开用数学思想去推算。

例1桌子上放着60根火柴,甲、乙二人轮流每次取走1~3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法,甲先取,那么谁将获胜?

分析与解:本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根;往前逆推,在倒数第二次取时,必须留给对方4根,此时无论对方取1,2或3根,获胜方都可以取走最后一根;再往前逆推,获胜方要想留给对方4根,在倒数第三次取时,必须留给对方8根……由此可知,获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根,则必胜。现在桌上有60根火柴,甲先取,不可能留给乙4的倍数根,而甲每次取完后,乙再取都可以留给甲4的倍数根,所以在双方都采用最佳策略的情况下,乙必胜。

  在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根,而不是5的倍数根或其它倍数根呢?关键在于规定每次只能取1~3根,1+3=4,在两人紧接着的两次取火柴中,后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点,就能分析出谁采用最佳方法必胜,最佳方法是什么。由此出发,对于例1的各种变化,都能分析出谁能获胜及获胜的方法。

例2在例1中将“每次取走1~3根”改为“每次取走1~6根”,其余不变,情形会怎样?

分析与解:由例1的分析知,只要始终留给对方(1+6=)7的倍数根火柴,就一定获胜。因为60÷7=8……4,所以只要甲第一次取走4根,剩下56根火柴是7的倍数,以后总留给乙7的倍数根火柴,甲必胜。

  由例2看出,在每次取1~n根火柴,取到最后一根火柴者获胜的规定下,谁能做到总给对方留下(1+n)的倍数根火柴,谁将获胜。

例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”,其余不变,情形又将如何?

分析与解:最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析,只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取,只要第一次取3根,剩下57根(57除以4余1),以后每次都将除以4余1的根数留给乙,甲必胜。

  由例3看出,在每次取1~n根火柴,取到最后一根火柴者为负的规定下,谁能做到总给对方留下(1+n)的倍数加1根火柴,谁将获胜。

  有许多游戏虽然不是取火柴的形式,但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。

例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数,每人每次只能报1~5个数,谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数?怎样才能获胜?

分析与解:对照例1、例2可以看出,本例是取火柴游戏的变形。因为50÷(1+5)=8……2,所以要想获胜,应选择先报,第一次报2个数,剩下48个数是(1+5=)6的倍数,以后总把6的倍数个数留给对方,必胜。

例51111个空格排成一行,最左端空格中放有一枚棋子,甲先乙后轮流向右移动棋子,每次移动1~7格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜,第一步必须向右移多少格?

分析与解:本例是例3的变形,但应注意,一开始棋子已占一格,棋子的右面只有1111-1=1110(个)空格。由例3知,只要甲始终留给乙(1+7=)8的倍数加1格,就可获胜。

  (111-1)÷(1+7)=138……6,

  所以甲第一步必须移5格,还剩下1105格,1105是8的倍数加1。以后无论乙移几格,甲下次移的格数与乙移的格数之和是8,甲就必胜。因为甲移完后,给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。

例6今有两堆火柴,一堆35根,另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问:先取者有何策略能获胜?

分析与解:本题虽然也是取火柴问题,但由于火柴的堆数多于一堆,故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。

  先取者在35根一堆火柴中取11根火柴,使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴,你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取,你也有火柴可取,也就是说,最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。

  请同学们想一想,如果在上面玩法中,两堆火柴数目一开始就相同,例如两堆都是35根火柴,那么先取者还能获胜吗?

例7有3堆火柴,分别有1根、2根与3根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴,取的根数不限,规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法,那么谁将获胜?

分析与解:根据例6的解法,谁在某次取过火柴之后,恰好留下两堆数目相等的火柴,谁就能取胜。

  甲先取,共有六种取法:从第1堆里取1根,从第2堆里取1根或2根;第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法,乙采取正确的取法,都可以留下两堆数目相等的火柴(同学们不妨自己试试),所以乙采用最佳方法一定获胜。

 

 

练习25

  1.桌上有30根火柴,两人轮流从中拿取,规定每人每次可取1~3根,且取最后一根者为赢。问:先取者如何拿才能保证获胜?

  2.有1999个球,甲、乙两人轮流取球,每人每次至少取一个,最多取5个,取到最后一个球的人为输。如果甲先取,那么谁将获胜?

  3.甲、乙二人轮流报数,甲先乙后,每次每人报1~4个数,谁报到第888个数谁胜。谁将获胜?怎样获胜?

  4.有两堆枚数相等的棋子,甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取,取的枚数不限,但不能不取,谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取,那么他一定能获胜吗?

  5.黑板上写着一排相连的自然数1,2,3,…,51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了,谁就算取胜。问:甲有必胜的策略吗?

  6.有三行棋子,分别有1,2,4枚棋子,两人轮流取,每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子,谁取走最后一枚棋子谁胜。问:要想获胜是先取还是后取?

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

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