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静心阁--漳平附小六(6)班

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日志

 
 
关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第29讲 运筹学初步(三)  

2010-01-26 09:41:26|  分类: 六年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第29讲 运筹学初步(三)

  本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题,怎样才能把它们安排得更合理,多快好省地办事,就是这讲涉及的问题。当然,限于现有的知识水平,我们仅仅是初步探索一下。

  1.统筹安排问题

  例1 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟,收拾厨房要15分钟,洗脏衣服的领子、袖口要10分钟,打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟,晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间?

  分析与解:如果按照题目告诉的几件事,一件一件去做,要95分钟。要想节约时间,就要想想在哪段时间里闲着,能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是:先洗脏衣服的领子和袖口,接着打开全自动洗衣机洗衣服,在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房,最后晾衣服,共需60分钟(见下图)。

 第29讲 运筹学初步(三) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  例1 告诉我们,当有许多事要做时,科学地安排好先后顺序,就能用较少的时间完成较多的事情。

  2.排队问题

  例2 理发室里有甲、乙两位理发师,同时来了五位顾客,根据他们所要理的发型,分别需要10,12,15,20和24分钟。怎样安排他们的理发顺序,才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少?最少要用多少时间?

  分析与解:一人理发时,其他人需等待,为使总的等待时间尽量短,应让理发所需时间少的人先理。甲先给需10分钟的人理发,然后15分钟的,最后24分钟的;乙先给需12分钟的人理发,然后20分钟的。甲给需10分钟的人理发时,有2人等待,占用三人的时间和为(10×3)分;然后,甲给需 15分钟的人理发,有 1人等待,占用两人的时间和为(15×2)分;最后,甲给需 24分钟的人理发,无人等待。

  甲理发的三个人,共用(10×3+15×2+24)分,乙理发的两个人,共用(12×2+20)分。总的占用时间为

  (10×3+15×2+24)+(12×2+20)=128(分)。

  按照上面的安排,从第一人开始理发到五个人全部理完,用了 10+15+24=49(分)。如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短,那么做个调整,甲依次给需10,12,20分钟的人理发,乙依次给需15,24分钟的人理发,总的占用时间仍是128分钟,而五人全部理完所用时间为

  10+12+20=42(分)。

  例3 车间里有五台车床同时出现故障,已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟,每台车床停产一分钟造成经济损失5元。现有两名工作效率相同的修理工,怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少?

  分析与解:因为(18+30+17+25+20)÷2=55(分),经过组合,一人修需18,17和20分钟的三台,另一人修需30和25分钟的两台,修复时间最短,为55分钟。

  上面只考虑修复时间,没考虑经济损失,要使经济损失少,就要使总停产时间尽量短,显然应先修理修复时间短的。第一人按需17,18,20分钟的顺序修理,第2人按需25,30分钟的顺序修理,经济损失为

  5×[(17×3+18×2+20)+(25×2+30)]=935(元)。

  3.最短路线问题

  例4 右图是一张道路示意图,每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间(单位:分)。小明从A到B最快要几分钟?

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  分析与解:我们采用分析排除法,将道路图逐步简化。

  从A到O有两条路,A→C→O用6分钟,A→F→O用7分钟,排除后者,可将FO抹去,但AF不能抹去,因为从A到B还有其它路线经过AF,简化为左下图。

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  从A到E还剩两条路,A→C→G→E用12分钟,A→C→O→E用10分钟,排除前者,可将CG,GE抹去,简化为右上图。

  从A到D还剩两条路,A→C→O→D用12分钟,A→H→D用13分钟,排除后者,可将AH,HD抹去,简化为左下图。

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  从A到B还剩两条路,A→C→O→E→B用17分钟,A→C→O→D→B用16分钟,排除前者,可将OE,EB抹去,简化为右上图。

  小明按A→C→O→D→B走最快,用16分钟。

  4.场地设置问题

  例5 下图是A,B,C,D,E五个村之间的道路示意图,○中数字是各村要上学的学生人数,道路上的数表示两村之间的距离(单位:千米)。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短,试确定最合理的方案。

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  分析与解:我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。例如比较 A和 C,若设在 A村,则在 C村一侧将集结 20+20+35+50=125(人),这些人都要走 AC这段路;若设在C村,则只有40人走AC这段路。对这两种方案,走其余各段路的人数完全相同,所以设在C村比设在A村好。

  从上面比较A和C的过程可以看出,场地设置问题不必考虑场地之间的距离,只需比较两个场地集结的人数多少,哪个场地集结的人数越多,就应设在哪。

  同理,经比较得到C比B好,D比E好。最后比较C和D。若设在 C村,则在 D村一侧将集结 35+ 50= 85(人);若设在 D村,则在C村一侧将集结 40+20+20=80(人)。因为在D村集结的人数比C村多,所以设在D村比C村好。

  经过上面的比较,最合理的方案是设在D村。

  不难发现,本题的解法与第27讲例2的解法十分类似。

  例6 某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的A~G七个居民区,每两个居民区间的距离如下图所示(单位:千米)。管道有粗细两种规格,粗管可供所有7个居民区用气,每千米8000元,细管只能供1个居民区用气,每千米3000元。粗、细管的转接处必须在居民区中。问:应怎样搭配使用这两种管道,才能使费用最省?

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  分析与解:在长度相同的情况下,每根粗管的费用大于2根细管的费用,小于3根细管的费用,所以安装管道时,只要后面需要供气的居民区多于2个,这一段就应选用粗管。从天然气站开始,分成顺时针与逆时针两条线路安装,因为每条线路的后面至多有两个居民区由细管通达,共有7个居民区,所以至少有3个居民区由粗管通达。因为长度相同时,2根或1根细管的费用都低于1根粗管的费用,所以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好,而顺时针与逆时针两条线路未衔接部份的距离越长越好。经过计算比较,得到最佳方案:

  (1)天然气站经G,F,E到D安装粗管,D到C安装2根细管,C到B安装1根细管;

  (2)天然气站到A安装1根细管。

  此时总费用最少,为

  8000×(3+12+8+6)+3000×2×5+3000×(9+10)=319000(元)。

 

 

练习29

  1.早饭前妈妈要干好多的事:烧开水要15分钟,擦桌椅要8分钟,准备暖瓶要1分钟,灌开水要2分钟,买油条要10分钟,煮牛奶要7分钟。如果灶具上只有一个火,那么全部做完这些工作最少需要多少时间?怎样安排?

  2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件,各零件加工所需时间分别为4,5,6,6,8,9,9分钟,三人同时开始工作。问:加工完七个零件最少需多长时间?

  3.车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15,8,29,7,10分钟,每台车床停产一分钟造成经济损失5元。问:(1)如果只有一名修理工,那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少?(2)如果有两名修理工,那么修复时间最少需多少分钟?

  4.下页左上图是一张道路图,每条路上的数是小王走这段路所需的时间(单位:分)。小王从A到B,最快需要几分钟?

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  5.东升乡有8个行政村。分布如右上图所示,点表示村庄,线表示道路,数字表示道路的长(单位:千米)。现在这个乡要建立有线广播网,沿道路架设电线。问:电线至少要架多长?

  6.有七个村庄A1,A2,…,A7分布在公路两侧(见下图),由一些小路与公路相连,要在公路上设一个汽车站,要使汽车站到各村庄的距离和最小,车站应设在哪里?

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  7.有一个水塔要供应某条公路旁的A~F六个居民点用水(见下图,单位:千米),要安装水管,有粗细两种水管,粗管足够供应6个居民点用水,细管只能供应1个居民点用水,粗管每千米要7000元,细管每千米要2000元,粗细管怎样互相搭配,才能使费用最省?费用应是多少?

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