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静心阁--漳平附小六(6)班

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日志

 
 
关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第28讲 运筹学初步(二)  

2010-01-26 09:39:03|  分类: 六年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第28讲 运筹学初步(二)

  本讲主要研究分配工作问题。

  实际工作中经常会碰到分配工作的问题。由于工作任务的性质不同,每个人的工作能力不同,因而完成这些任务所需的时间和花费的代价也不同。我们希望通过合理分配工作,使所用时间最少或花费代价最小。

  例1 甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子,甲厂每月用16天生产上衣,14天做裤子,共生产448套衣服(每套上衣、裤子各一件);乙厂每月用12天生产上衣,18天生产裤子,共生产720套衣服。两厂合并后,每月(按30天计算)最多能生产多少套衣服?

  分析与解:应让善于生产上衣或裤子的厂充分发挥特长。甲厂生产上衣和裤子的时间比为8∶7,乙厂为2∶3,可见甲厂善于生产裤子,乙厂善于生产上衣。

  因为甲厂 30天可生产裤子 448÷14×30=960(条),乙厂30天可生产上衣720÷12×30=1800(件),960<1800,所以甲厂应专门生产裤子,剩下的衣裤由乙厂生产。

  设乙厂用x天生产裤子,用(30-x)天生产上衣。由甲、乙两厂生产的上衣与裤子一样多,可得方程

  960+720÷18×x=720÷12×(30-x),

  960+40x=1800-60x,

  100x=840,

  x=8.4(天)。

  两厂合并后每月最多可生产衣服

  960+40×8.4=1296(套)。

  例2 某县农机厂金工车间共有77个工人。已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个,或乙种部件4个,或丙种部件3个。每3个甲种部件、1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套。问:分别安排多少人加工甲、乙、丙三种部件时,才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套?

  分析与解:如果采用直接假设,那么就要用三个字母分别代替加工甲、乙、丙三种部件的人数,这已经超出了我们的知识范围。由题目条件看出,每套成品中,甲、乙、丙三种部件的件数之比是3∶1∶9,因为是配套生产,所以生产出的甲、乙、丙三种部件的数量之比也应是3∶1∶9。

  设每天加工乙种部件x个,则加工甲种部件3x个,丙种部件9x个。从而

第28讲 运筹学初步(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第28讲 运筹学初步(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  第28讲 运筹学初步(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  第28讲 运筹学初步(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  第28讲 运筹学初步(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  加工甲、乙、丙三种部件应分别安排12人、5人和60人。

  例3 有4辆汽车要派往五个地点运送货物,右图○中的数字分别表示五个地点完成任务需要的装卸工人数,五个地点共需装卸工20人。如果有些装卸工可以跟车走,那么应如何安排跟车人数及各点的装卸工人数,使完成任务所用的装卸工总人数最少?

第28讲 运筹学初步(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  分析与解:可用试探法。因为五个地点中需装卸工最多的是5个人,所以如果每辆车跟5个工人,那么每辆车到达任何一个地点,都能正常进行装卸。由此得到,跟车人数的试探范围是1~5个人。

  若每车跟车5人,则各点不用安排人,共需20人;

  若每车跟车4人,则原来需5人的点还需各安排1人,共需18人;

  若每车跟车3人,则原来需5人的点还需各安排2人,原来需4人的点还需各安排1人,共需17人;

  同理可求出,每车跟车2人,共需18人;每车跟车1人,共需19人。

  可见,安排每车跟车3人,原来需5人的两个点各安排2人,原来需4人的点安排1人,这时所用的装卸工总人数最少,需17人。

  在例3中,我们采用试探法,逐一试算,比较选优。事实上,此类题目有更简捷的解法。假设有m个地点n辆车(n≤m),m个地点需要的人数按从多到少排列为

  A1≥A2≥A3≥…≥Am

  则需要的最少总人数就是前n个数之和,即

  A1+A2+…+An

  这时每车的跟车人数可以是An+1 至An 之间的任一数。具体到例3,5个点4辆车,5个点中需要人数最多的4个数之和,即5+5+4+3=17(人)就是需要的最少总人数,因为A4=A5=3,所以每车跟车3人。若在例3中只有2辆车,其它条件不变,则最少需要 5+5=10(人),因为A2=5,A3=4,所以每车跟车5人或4人。当每车跟车5人时,所有点不再安排人;当每车跟车4人时,需要5人的两个点各安排1人,其余点不安排人。

  注:如果车辆数大于地点数,即n>m,则跟车人数是0,各点需要人数之和就是总共需要的最少人数。

  例4 有17根11.1米长的钢管,要截成1.0米和0.7米的甲、乙两种长度的管子,要求截成的甲、乙两种管子的数量一样多。问:最多能截出甲、乙两种管子各多少根?

  分析与解:要想尽量多地截出甲、乙两种管子,残料应当尽量少。一根钢管全部截成1.0米的,余下0.1米,全部截成0.7米的,余下0.6米。如果这样截,再要求甲、乙管数量相等,那么残料较多。

  怎样才能减少残料,甚至无残料呢?我们可以将1.0米的和0.7米的在一根钢管上搭配着截,所得残料长度(单位:米)见下表:

第28讲 运筹学初步(二) - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  由上表看出,方法3和方法10没有残料,如果能把这两种方法配合起来,使截出的甲、乙两种管子数量相等,那么就是残料最少的下料方案了。

  设按方法3截x根钢管,按方法 10截 y根钢管。这样共截得甲管(9x+2y)根,乙管(3x+13y)根。由甲、乙管数量相等,得到

  9x+2y=3x+13y,

  9x-3x=13y-2y,

  6x=11y。

  由此得到x∶y= 11∶6。用方法3截11根钢管,用方法10截6根钢管是符合题意的截法,共可截得甲、乙管各

  9×11+2×6=111(根),

  或3×11+13×6=111(根)。

  例5 给甲、乙二人分配A,B两项工作,他们完成这两项工作所需要的时间如下表:

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  怎样分配工作才能使完成这两项工作所需的总时间最少?

  分析与解:因为不同的人要做不同的工作,所以上表中不同行、不同列的两数之和对应一种方案,共两种:

  (1)甲做 A、乙做 B,需要 7+6=13(时);

  (2)甲做 B、乙做 A,需要 4+8=12(时)。

  显然后一种方案优于前一种方案。

  为了能够处理更复杂的问题,我们将上例的数量关系尽量简化。

  如果把表中第一行的两数都减去该行的最小数7,变成0和1,那么上面(1)(2)各式也各减少7,不影响它们之间的大小关系,即不影响最优方案的确定。

  同理,第二行都减去该行的最小数4,变成0和2,也不影响最优方案的确定。

  经上述变换后,原表变成左下表:

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  此时,再将第二列都减去该列的最小数1,变成0和1,同样不影响最优方案的确定,原表变为右上表。

  不同行、不同列的两个数之和代表一种方案,因为

  0+0<0+1,

   所以最优方案为乙做A、甲做B。上面的化简过程可表示为:

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  总结上面的方法:对于n个人n项工作的合理分配问题:

  (1)先将各行都减去该行中最小的数;

  (2)再将各列都减去该列中最小的数;

  (3)最后选择不在同一行,也不在同一列的n个0即可。

  在实施上述变换后,如果仍选不出n个不同行也不同列的0,因为我们的目的是选取一组不同行、不同列的n个数,使这n个数之和尽量小,既然得不到n个0,可用表中最小的数代替0(见例6)。

  例6 给甲、乙、丙三人分配A,B,C三项工作,他们完成这三项工作的时间如下表:

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  完成这三项工作所需总时间最少是多少?

  分析与解:

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  因为没有三个不同行也不同列的0,我们用右下角的1代替0,此时,○内的三个数就是我们要找的最佳方案,即甲做B、乙做A、丙做C。所需总时间为

  9+7+9=25(时)。

 

 练习28

  1.某种健身球由一个黑球和一个白球组成一套。已知两个车间都生产这种

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现在两个车间联合起来生产,每月最多能生产多少套健身球?

  2.某车间有铣床5台、车床3台、自动机床1台,生产一种由甲、乙两种零件各1个组成的产品。每台铣床每天生产甲零件10个,或者生产乙零件20个;每台车床每天生产甲零件20个,或者生产乙零件30个;每台自动机床每天生产甲零件30个,或者生产乙零件80个。这些机器每天最多可生产多少套产品?

  3.车过河交渡费3元,马过河交渡费2元,人过河交渡费1元。某天过河的车、马数目的比为2∶9,马、人数目的比为3∶7,共收得渡费945元。问:这天渡河的车、马、人的数目各多少?

  4.有4辆汽车要派往七个地点运送货物,右图中的数字分别表示这七个地点完成任务需要的装卸工人数。如果装卸工可以跟车,那么最少要安排多少名装卸工才能完成任务?

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  5.有一批长4.3米的条形钢材,要截成0.7米和0.4米的甲、乙两种毛坯,要求截出的甲、乙两种毛坯数量相同。如何下料才能使残料最少?

  6.用10米长的钢筋做原材料,截取3米和4米长的钢筋各100根,至少要用多少根原材料?

  7.给甲、乙、丙分配A,B,C三项工作,他们完成这三项工作的时间如下表。怎样分配工作才能使完成这三项工作所需总时间最少?最少用多少时间?

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