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静心阁--漳平附小六(6)班

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关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第27讲 运筹学初步(一)  

2010-01-26 09:36:55|  分类: 六年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第27讲 运筹学初步(一)

  运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划,使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛,例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等,每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学,要运用各种初等的和高等的数学知识及方法,但是其中分析问题的某些朴素的思想方法,如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等,都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题,正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。

  本讲主要研究物资调运问题。

  将一些物资从某些地方调往另一些地方,要求总运费或物资运行的总吨千米数最少,就是物资调运问题。

  例1 A,B,C三地的距离(单位:千米)如左下图所示。现有一辆载重量4吨的汽车要完成下列任务:从A地运12吨煤到B地,从B地运8吨钢材到C地,从C地运16吨粮食到A地。

  怎样安排才能使汽车空驶里程最短?

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  分析与解:如右上图所示,将各段需运输的次数(括号内的数)及运输走向(箭头指向)标在图上。由于C到A的次数最多,所以应从C开始。按C→A→B→C,两次循环后,B地的钢材运完,C地还有8吨粮食待运,A地还有4吨煤待运。再从C运4吨粮食到A,然后空驶回C地,再从C运4吨粮食到A,最后从A运4吨煤到B。这样的安排只空驶了7千米,空驶里程最短。

  例2 在一条公路上,每隔10千米有一座仓库(如下图),共有五座,图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元,那么集中到哪个仓库运费最少?

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  分析与解:最简单的方法是逐个计算集中到各个仓库所需的运费,然后加以比较。但这种方法计算繁琐,我们只需比较各点的优劣。例如,比较集中到C和集中到D的优劣。

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  如上图所示,从右向左运的货物,如果集中到D,那么只有E仓库的60吨运到D;如果集中到C,那么等于E仓库的60吨运到D,再将D仓库的10吨及E仓库运来的60吨一起运到C。所以运到C仓库比运到D仓库多

  (60+10)×10=700(吨千米)。

  同理,从左向右运的货物,运到C仓库比运到D仓库少

  (10+30+20)×10=600(吨千米)。

  两相比较,集中到D比集中到C好。

  经过对各点的比较,货物集中到D仓库运费最少,运费为:

  (10×30+30×20+20×10+60×10)×0.9=1530(元)。

  例3 北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器,准备给杭州7台、西安9台,每台机器的运费如下表:

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  如何调运能使总运费最省?

  分析与解:由表中看出,北京到杭州的运费比到西安便宜,而洛阳正相反,到西安的运费比到杭州便宜。所以,北京的机器应尽量运往杭州,洛阳的机器应尽量运往西安。最佳的调运方案为:北京发往杭州7台,发往西安4台,洛阳发往西安5台。总运费为

  800×7+1000×4+600×5=12600(元)。

  例4 北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器,准备给武汉11台,西安5台,每台机器的运费如下表:

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  如何调运能使总运费最省?

  分析与解:与例3不同的是,北京、上海到西安的运费都比到武汉的高,没有出现一高一低的情况。此时,可以通过比较运输中的差价大小来决定最佳方案。

  上表中第一行的差价为600-500=100(元),第二行的差价为1000-700= 300(元)。说明从北京给西安多发1台机器要多付运费100元,而从上海给西安多发1台机器要多付运费300元。所以应尽量把北京的产品运往西安,而西安只要5台,于是可知北京调往西安5台,其余5台调往武汉,上海6台全部调往武汉,总运费为:600×5+500×5+700×6=9700(元)。

  如果改为看表中的列,那么由于第一列的差价为700- 500=200(元),第二列差价为1000-600=400(元),所以武汉需要的机器应尽量从上海调运,而上海只有6台,不足的部分由北京调运。这个结论同前面得到的相同。

  例5 A,B两个粮店分别有70吨和60吨大米,甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米。从A,B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如下表所示:

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  如何调运才能使运费最少?

  分析与解: A,B粮店共有大米 70+60=130(吨),甲、乙、丙三个居民点需要大米 30+40+50=120(吨),供应量与需求量不相等,这与例4不同。但是我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案。

  观察上表各列两数之差,最大的是第二列10-7=3,因此A粮店的大米应尽可能多地供应乙,即A供应乙40吨。

  在剩下的两列中,第三列的差大于第一列的差,所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙。

  因为A粮店的的大米已分配完,其余的由B粮店供应,即B供应甲30吨,供应丙20吨。

  调运方案如右表。

  相应的运费为:

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  30×3+40×7+30×3+20×5=560(元)。

  例6 下图中有四个仓库(用○表示)和五个工厂(用△表示),四个仓库中存放着五个工厂需要的同一种物资,○内数字表示该仓库可调出物资的数量(单位:吨),△内数字表示该工厂需调入物资的数量(单位:吨),两地之间连线上的数字表示两地间的距离(单位:千米)。已知每吨千米运费5元,请设计一个调运方案,使总运费最少?

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  为解决这类问题,我们先介绍流向图的概念。在物资调运问题中,如果要将a吨物资从A地调往B地,那么从A沿路线右边向B画一箭头,并标上a,称为流向(见下图)。由(若干个)流向构成的图称为流向图。每一个调运方案对应一个流向图。

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  用数学的方法可以证明,一个调运方案是最佳的,当且仅当:(1)流向图上没有对流;(2)如果流向图中有环形路线,在每一个环形路线(叫做圈)内,顺时针和逆时针方向调动的路程都不超过半圈长度。

  判断是否最佳调运方案的两条标准从直观上很容易接受。如在下图中,右边的方案就比左边的好。

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  在实际图上作业时,可以先采取就近分配的方法,然后再逐步调整,使流向图满足最佳方案的两个条件。

  用流向图的方法可得本题的最佳调运方案如下图:

  总运费为:

  5×(20×8+10×13+20×14+30×9+30×12+

  40×10+80×7+20×5)

  =11300(元)。

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练习27

  1.如右图所示,工地上要把3车渣土从A运到B,把2车砖从C运到D。一辆汽车最少跑多远可完成任务?

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  2.A,B两个粮店分别有80吨和60吨大米,甲、乙两个居民点分别需要55吨和85吨大米。从A,B两个粮店每运1吨大米到两个居民点的运费如下表所示。运费最少是多少元?

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  3.A,B两化肥厂分别可以提供化肥2500吨和4000吨,甲、乙两地分别需要化肥3000吨和3500吨。从A,B两个化肥厂每运1吨化肥到甲、乙两地的运费如下表所示。

  运费最少是多少?

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  4.有A,B两个金属仓库,分别存有铝材60吨和40吨,另有甲、乙两个工厂,分别需要铝材35吨和45吨。从A,B两仓库每运1吨铝材到这两个工厂的运费如下表所示。

  运费最少是多少?

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  5.某学校调整教室桌椅,右图中标出了教室的位置,图中□内的数字表示该教室要搬出桌椅的数量,○内的数字表示该教室要搬入桌椅的数量。怎样搬运最省事?

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  6.60个同学去野营,他们搭的五顶帐蓬正好位于正五边形的五个顶点上(见左下图),图中圆圈内的数字表示各个帐蓬内的人数。现在想将五个帐蓬内的人数调整为一样多,怎样调动最简便?

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  7.右上图是粮店和居民点的位置示意图,○表示粮店,○内的数字表示该粮店的存粮数(单位:吨),●表示居民点,线段表示道路,线段上的数字表示距离(单位:千米)。假设运输1吨粮食每千米的运费为1.2元,每个居民点都需要30吨粮食,应如何调运才能使运费最省?运费为多少元?

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

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