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静心阁--漳平附小六(6)班

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关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第17讲 操作问题  

2010-01-26 08:22:52|  分类: 六年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第17讲 操作问题

  所谓操作问题,实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换,这种变换可以具体执行。例如,对任意一个自然数,是奇数就加1,是偶数就除以2。这就是一次操作,是可以具体执行的。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。

  例1 对于任意一个自然数 n,当 n为奇数时,加上121;当n为偶数时,除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作,在操作过程中是否可能出现100?为什么?

  讨论:同学们碰到这种题,可能会“具体操作”一下,得到

 第17讲 操作问题 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  这个过程还可以继续下去,虽然一直没有得到100,但也不能肯定得不到100。当然,连续操作下去会发现,数字一旦重复出现后,这一过程就进入循环,这时就可以肯定不会出现100。因为这一过程很长,所以这不是好方法。

  解:因为231和121都是11的倍数,2不是11的倍数,所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数。100不是11的倍数,所以不可能出现。

  由例1看出,操作问题不要一味地去“操作”,而要找到解决问题的窍门。

  例2 对任意两个不同的自然数,将其中较大的数换成这两数之差,称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换:

  18, 42—→ 18, 24—→ 18, 6—→ 12, 6—→ 6, 6。直到两数相同为止。问:对12345和54321进行这样的连续变换,最后得到的两个相同的数是几?

  分析与解:如果两个数的最大公约数是a,那么这两个数之差与这两个数中的任何一个的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中,所得两数的最大公约数始终不变,所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大公约数是3,所以最后得到的两个相同的数是3。

注:这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。

  例3 右图是一个圆盘,中心轴固定在黑板上。开始时,圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘,每次可以转动90°的任意整数倍,圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置,将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问:经过若干次后,黑板上的四个数是否可能都是999?

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  解:不可能。因为每次加上的数之和是 1+2+3+4=10,所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍。 999×4=3996,不是10的倍数,所以黑板上的四个数不可都是999。

  例4 在左下图中,对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1,这算作一次操作。经过若干次操作后,左下图变为右下图。问:右下图中A格中的数字是几?

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  分析与解:每次操作都是在相邻的两格,我们将相邻的两格染上不同的颜色(见右图)。因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加1或减1,所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之和的差保持不变。因为原题左图的这个差是13,所以原题右图的这个差也是13。由(A+12)-12=13解得 A=13。

  例5 将1~10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中,前面的数大于后面的数,那么就交换它们的位置。如此操作下去,直到前面的数都小于后面的数为止。当1~10十个数如下排列时,需交换多少次?

  8,5,2,6,10,7,9,1,4,3。

  分析与解:为了不打乱仗,我们按照一定的方法来交换。例如,从最大的数10开始交换,将10交换到它应在的位置后,再依次对9,8,7,…实施交换,直至按从小到大排列为止。

  因为10后面有5个比它小的数,所以对10连续交换5次,10到了最右边,而其它各数的前后顺序没有改变;再看9,9后面有3个比它小的数,需交换3次,9到了右边第二位,排在10前面;再依次对8,7,6,…实施这样的交换。

  10后面有5个比它小的数,我们说10有5个逆序;9后面有3个比它小的数,我们说9有3个逆序;类似地,8,7,6,5,4,3,2依次有7,3,3,4,1,0,1个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数,所以需交换

  5+3+7+3+3+4+1+0+1= 27(次)。

  例6右图是一个5×6的方格盘。先将其中的任意5个方格染黑。然后按以下规则继续染色:

  如果某个格至少与两个黑格都有公共边,那么就将这个格染黑。

  这样操作下去,能否将整个方格盘都染成黑色?

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  分析与解:以一个方格的边长为1,开始时5个黑格的总周长不会超过4×5=20。以后每染一个格,因为这个格至少与两个黑格都有公共边,所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中,A与4个黑格有公共边,染黑后,黑格的总周长将减少4;下中图中,A与3个黑格有公共边,染黑后,黑格的总周长将减少2;右下图中,A与2个黑格有公共边,染黑后,黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法染色,所有黑格的总周长永远不会超过20,而5×6方格盘的周长是 22,所以不能将整个方格盘染成黑色。

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 练习17

  1.黑板上写着1~15共15个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1。例如,擦掉5和11,要写上15。经过若干次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是几?

  2.在黑板上任意写一个自然数,然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数,称为一次操作。问:最多经过多少次操作,黑板上就会出现2?

  3.口袋里装有101张小纸片,上面分别写着1~101。每次从袋中任意摸出5张小纸片,然后算出这5张小纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是几?

  4.在一个圆上标出一些数:第一次先把圆周二等分,在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半圆弧分别二等分,在分点标上相邻两分点两数的平均数3(见右图)。第三次把四段弧再分别二等分,在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去,当第8次标完后,圆周上所有标出的数的总和是多少?

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  5.六个盘子中各放有一块糖,每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中,这样至少要做多少次,才能把所有的糖都集中到一个盘子中?

  6.将1~10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中,前面的大于后面的,那么就交换它们的位置。如此操作下去,直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数的第4位,那么最少要交换多少次?最多要交换多少次?

  7.在右图的方格表中,每次给同一行或同一列的两个数加1,经过若干次后,能否使表中的四个数同时都是5的倍数?为什么?

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谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

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