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静心阁--漳平附小六(6)班

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日志

 
 
关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

GACHA精选

第8讲 奇偶性(二)  

2010-01-25 08:32:01|  分类: 五年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第8讲 奇偶性(二)

  例1用0~9这十个数码组成五个两位数,每个数字只用一次,要求它们的和是奇数,那么这五个两位数的和最大是多少?

  分析与解:有时题目的要求比较多,可先考虑满足部分要求,然后再调整,使最后结果达到全部要求。

  这道题的几个要求中,满足“和最大”是最容易的。暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。

  要使组成的五个两位数的和最大,应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上,即十位上放5,6,7,8,9,而个位上放0,1,2,3,4。根据奇数的定义,这样组成的五个两位数中,有两个是奇数,即个位是1和3的两个两位数。

  要满足这五个两位数的和是奇数,根据奇、偶数相加减的运算规律,这五个数中应有奇数个奇数。现有两个奇数,即个位数是1,3的两位数。所以五个数的和是偶数,不合要求,必须调整。调整的方法是交换十位与个位上的数字。要使五个数有奇数个奇数,并且五个数的和尽可能最大,只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换,并且交换的两个的数码之差尽可能小,由此得到交换5与4的位置。满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4,6,7,8,9,个位上的数码是0,1,2,3,5,所求这五个数的和是(4+6+7+8+9)×10+(0+1+2+3+5)=351。

  例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上,每次翻转其中的2只杯子。能否经过若干次翻转,使得7只杯子全部杯口朝下?

  分析与解:盲目的试验,可能总也找不到要领。如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性,就会发现问题所在。一开始杯口朝上的杯子有7只,是奇数;第一次翻转后,杯口朝上的变为5只,仍是奇数;再继续翻转,因为只能翻转两只杯子,即只有两只杯子改变了上、下方向,所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。类似的分析可以得到,无论翻转多少次,杯口朝上的杯子数永远是奇数,不可能是偶数0。也就是说,不可能使7只杯子全部杯口朝下。

  例3 有m(m≥2)只杯子全部口朝下放在桌子上,每次翻转其中的(m-1)只杯子。经过若干次翻转,能使杯口全部朝上吗?

  分析与解:当m是奇数时,(m-1)是偶数。由例2的分析知,如果每次翻转偶数只杯子,那么无论经过多少次翻转,杯口朝上(下)的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m只杯子全部杯口朝下,即杯口朝下的杯子数是奇数,每次翻转(m-1)即偶数只杯子。无论翻转多少次,杯口朝下的杯子数永远是奇数,不可能全部朝上。

  当m是偶数时,(m-1)是奇数。为了直观,我们先从m= 4的情形入手观察,在下表中用∪表示杯口朝上,∩表示杯口朝下,每次翻转3只杯子,保持不动的杯子用*号标记。翻转情况如下:

 小学五年级奥数专题讲座08:奇偶性(二) - 小草 - ⑦埰夢圎

  由上表看出,只要翻转4次,并且依次保持第1,2,3,4只杯子不动,就可达到要求。一般来说,对于一只杯子,要改变它的初始状态,需要翻奇数次。对于m只杯子,当m是偶数时,因为(m-1)是奇数,所以每只杯子翻转(m-1)次,就可使全部杯子改变状态。要做到这一点,只需要翻转m次,并且依次保持第1,2,…,m只杯子不动,这样在m次翻转中,每只杯子都有一次没有翻转,即都翻转了(m-1)次。

  综上所述:m只杯子放在桌子上,每次翻转(m-1)只。当m是奇数时,无论翻转多少次,m只杯子不可能全部改变初始状态;当m是偶数时,翻转m次,可以使m只杯子全部改变初始状态。

  例4 一本论文集编入15篇文章,这些文章排版后的页数分别是1,2,3,…,15页。如果将这些文章按某种次序装订成册,并统一编上页码,那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇?

  分析与解:可以先研究排版一本书,各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。一篇有奇数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的,即排版奇数页的文章,第一面是奇数页码,最后一面也是奇数页码,而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。一篇有偶数页的文章,它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的,即排版偶数页的文章,第一面是奇(偶)数页码,最后一面应是偶(奇)数页码,而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇(偶)数页码上。

  以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。

  题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。首先考虑有偶数页的文章,只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上(如第1页),那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上,共有7篇这样的文章。然后考虑有奇数页的文章,第一篇的第一面排在奇数页码上,第二篇的第一面就会排在偶数页码上,第三篇的第一面排在奇数页码上,如此等等。在8篇奇数页的文章中,有4篇的第一面排在奇数页码上。因此最多有7+4=11(篇)文章的第一面排在奇数页码上。

  例5 有大、小两个盒子,其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子,小盒内装有足够多的黑棋子。阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子,若摸出的两枚棋子同色,则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内;若摸出的两枚棋子异色,则把其中白棋子放回大盒内。问:从大盒内摸了1999次棋子后,大盒内还剩几枚棋子?它们都是什么颜色?

  分析与解:大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001(枚)。

  因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子,所以每摸一次少1枚棋子,摸了1999次后,还剩2001-1999=2(枚)棋子。

  从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况:

  (1)所摸到的两枚棋子是同颜色的。此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。当所摸两枚棋子同是黑色,这时大盒内少了一枚黑棋子;当所摸两枚棋子同是白色,这时大盒内多了一枚黑棋子。

  (2)所摸到的两枚棋子是不同颜色的,即一黑一白。这时要把拿出的白棋子放回到大盒,大盒内少了一枚黑棋子。

  综合(1)(2),每摸一次,大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚,即改变了黑棋子数的奇偶性。原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子,摸了1999次,即改变了1999次奇偶性后,还剩奇数枚黑棋子。因为大盒内只剩下2枚棋子,所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。

  例6 一串数排成一行:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

  到这串数的第1000个数为止,共有多少个偶数?

  分析与解:首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。

  1+1=2,2+3=5,3+5=8, 5+8=13,…

  这串数的规律是,从第三项起,每一个数等于前两个数的和。根据奇偶数的加法性质,可以得出这串数的奇偶性:

  奇,奇,偶,奇,奇,偶,奇,奇,偶,……

  容易看出,这串数是按“奇,奇,偶”每三个数为一组周期变化的。 1000÷3=333……1,这串数的前1000个数有333组又1个数,每组的三个数中有1个偶数,并且是第3个数,所以这串数到第1000个数时,共有333个偶数。

  

 

 练习8

  1.在11,111,1111,11111,…这些数中,任何一个数都不会是某一个自然数的平方。这样说对吗?

  2.一本书由17个故事组成,各个故事的篇幅分别是1,2,3,…,17页。这17个故事有各种编排法,但无论怎样编排,故事正文都从第1页开始,以后每一个故事都从新一页码开始。如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少,那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的?

  3.桌子上放着6只杯子,其中3只杯口朝上,3只杯口朝下。如果每次翻转5只杯子,那么至少翻转多少次,才能使6只杯子都杯口朝上?

  4.70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和,这一行数的最左边的几个数是这样的:0,1,3,8,21,…问:最右边的一个数是奇数还是偶数?

  5.学校组织运动会,小明领回自己的运动员号码后,小玲问他:“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数?”小明说:“除开我的号码,把今天发的其它号码加起来,再减去我的号码,恰好是100。”今天发放的运动员号码加起来,到底是奇数还是偶数?

  6.在黑板上写出三个整数,然后擦去一个换成所剩两数之和,这样继续操作下去,最后得到88,66,99。问:原来写的三个整数能否是1,3,5?

  7.将888件礼品分给若干个小朋友。问:分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数?

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ


 

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