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静心阁--漳平附小六(6)班

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关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第12讲 最大公约数与最小公倍数(一)  

2010-01-25 08:22:06|  分类: 五年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第12讲 最大公约数与最小公倍数(一)

  如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。

  如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1,a2,…,an的最大公约数通常用符号(a1,a2,…,an)表示,例如,(8,12)=4,(6,9,15)=3。

  如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1,a2,…,an的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,an]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90。

  常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

  例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱?

  分析与解:因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,180,240的最大公约数。

五年级奥数专题讲座12:最大公约数与最小公倍数(一) - 小草 - ⑦埰梦圎

  所以(144,180,240)=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5(元)。

  为节约篇幅,除必要时外,在求最大公约数和最小公倍数时,将不再写出短除式。

  例2 用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少?

  分析与解:因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

  498-450=48,450-414=36,498-414=84。

  所求数是(48,36,84)=12。

  例3 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?

  分析与解:只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。

  例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线(见下页上图),这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点(横线与竖线的交叉点)?

五年级奥数专题讲座12:最大公约数与最小公倍数(一) - 小草 - ⑦埰梦圎

 

  分析与解:(30,24)=6,说明如果将方格纸横、竖都分成6份,即分成6×6个相同的矩形,那么每个矩形是由(30÷6)×(24÷6)=5×4(个)

  小方格组成。在6×6的简化图中,对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线,所以经过5个格点(见左下图)。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中,对角线不经过任何格点(见右下图)。

五年级奥数专题讲座12:最大公约数与最小公倍数(一) - 小草 - ⑦埰梦圎

  所以,对角线共经过格点(30,24)-1=5(个)。

  例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会?

  分析与解:甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒,因为要在起点相会,即三人都要走整圈数,所以需要的时间应是60,75,90的公倍数。所求时间为[60,75,90]=900(秒)=15(分)。

  例6 爷爷对小明说:“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗?

  分析与解:爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化,但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍,说明他们的年龄差是6的倍数;同理,他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。由此推知,他们的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数。

  [6,5,4,3,2]=60,

  爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况,爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在

  小明的年龄=60÷(7-1)=10(岁),

  爷爷的年龄=10×7=70(岁)。

 

 

练习12

  1.有三根钢管,分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段,一共能截成多少段?

  2.两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。

  3.用1~9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数?

  4.大雪后的一天,亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印。问:这个花圃的周长是多少米?

  5.有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个?

  6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5分钟发车一次,第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车,下一次同时发车是什么时间?

  7.四个连续奇数的最小公倍数是6435,求这四个数。

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

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