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静心阁--漳平附小六(6)班

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日志

 
 
关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第15讲 孙子问题与逐步约束法  

2010-01-25 08:15:19|  分类: 五年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第15讲 孙子问题与逐步约束法

  在古书《孙子算经》中有一道题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是:有一堆物品,三个三个数剩两个,五个五个数剩三个,七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。

  我们称这类问题为孙子问题。

  例1 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2。求满足条件的最小自然数。

  分析与解:这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件,一下子不好解答。那么,我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数,然后再逐步增加条件,达到最终解决问题的目的呢?我们试试看。

  满足“除以3余2”的数,有2,5,8,11,14,17,…

  在上面的数中再找满足“除以5余3”的数,可以找到8,8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数,容易知道,8再加上3与5的公倍数,仍然满足这两个条件,所以满足这两个条件的数有

8,23,38,53,68,…

  在上面的数中再找满足“除以7余2”的数,可以找到23,23是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。23再加上或减去3,5,7的公倍数,仍然满足这三个条件,[3,5,7]=105,因为23<105,所以满足这三个条件的最小自然数是23。

  在例1中,若找到的数大于[3,5,7],则应当用找到的数减去[3,5,7]的倍数,使得差小于[3,5,7],这个差即为所求的最小自然数。

  例2 求满足除以5余1,除以7余3,除以8余5的最小的自然数。

  分析与解:与例1类似,先求出满足“除以5余1”的数,有6,11,16,21,26,31,36,…

  在上面的数中,再找满足“除以7余3”的数,可以找到31。同时满足“除以5余1”、“除以7余3”的数,彼此之间相差5×7=35的倍数,有

  31,66,101,136,171,206,…

  在上面的数中,再找满足“除以8余5”的数,可以找到101。因为101<[5,7,8]=280,所以所求的最小自然数是101。

  在例1、例2中,各有三个约束条件,我们先解除两个约束条件,求只满足一个约束条件的数,然后再逐步加上第二个、第三个约束条件,最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件,再逐步增加条件的解题方法,叫做逐步约束法。

  例3 在10000以内,除以3余2,除以7余3,除以11余4的数有几个?

  解:满足“除以3余2”的数有5,8,11,14,17,20,23,…

  再满足“除以7余3”的数有17,38,59,80,101,…

  再满足“除以11余4”的数有59。

  因为阳[3,7,11]=231,所以符合题意的数是以59为首项,公差是231的等差数列。(10000-59)÷231=43……8,所以在10000以内符合题意的数共有44个。

  例4 求满足除以6余3,除以8余5,除以9余6的最小自然数。

  分析与解:如果给所求的自然数加3,所得数能同时被6,8,9整除,所以这个自然数是

  [6,8,9]-3=72-3=69。

  例5学校要安排66名新生住宿,小房间可以住4人,大房间可以住7人,需要多少间大、小房间,才能正好将66名新生安排下?

  分析与解:设需要大房间x间,小房间y间,则有7x+4y=66。

  这个方程有两个未知数,我们没有学过它的解法,但由4y和66都是偶数,推知7x也是偶数,从而x是偶数。

  当x=2时,由7×2+4y=66解得y=13,所以x=2,y=13是一个解。

  因为当x增大4,y减小7时,7x增大28,4y减小28,所以对于方程的一个解x=2,y=13,当x增大4,y减小7时,仍然是方程的解,即x=2+4=6,y=13-7=6也是一个解。

  所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。

  小学五年级奥数专题讲座15:孙子问题与逐步约束法 - 小草 - ⑦埰梦圎

就是说,方程7x+4y=66有无数个解。由于这类方程的解的不确定性,所以称这类方程为不定方程。

  根据实际问题列出的不定方程,往往需要求整数解或自然数解,这时的解有时有无限个,有时有有限个,有时可能是唯一的,甚至无解。例如:

  x-y=1有无限个解,因为只要x比y大1就是解;

  3x+2y=5只有x=1,y=1一个解;

  3x+2y=1没有解。

  例6 求不定方程5x+3y=68的所有整数解。

  解:容易看出,当y=1时,x=(68-3×1)÷5=13,即x=13,y=1是一个解。

  因为x=13,y=1是一个解,当x减小3,y增大5时,5x减少15,3y增大15,方程仍然成立,所以对于x=13,y=1,x每减小3,y每增大5,仍然是解。方程的所有整数解有5个:

小学五年级奥数专题讲座15:孙子问题与逐步约束法 - 小草 - ⑦埰梦圎

  由例5、例6看出,只要找到不定方程的一个解,其余解可通过对这个解的加、减一定数值得到。限于我们学到的知识,寻找第一个解的方法更多的要依赖“拼凑”。

     

 

练习15

  1.一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小自然数。

  2.有一堆苹果,3个3个数余1个,5个5个数余2个,6个6个数余4个。这堆苹果至少有多少个?

  3.在小于1000的自然数中,除以4余3,除以5余2,除以7余4的最大的自然数是几?

  4.在5000以内,除以3余1,除以5余2,除以7余3的自然数有多少个?

  5.有一个两位数,除以2与除以3都余1,除以4与除以5都余3,求这个数。

  6.用100元钱去买3元一个和7元一个的两种商品,钱正好用完,共有几种买法?

  7.五年级一班的43名同学去划船,大船可坐7人,小船可坐5人,需租大、小船各多少条?

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

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