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静心阁--漳平附小六(6)班

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日志

 
 
关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第16讲 找规律  

2010-01-25 14:42:42|  分类: 六年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第16讲 找规律

  同学们从三年级开始,就陆续接触过许多“找规律”的题目,例如发现图形、数字或数表的变化规律,发现数列的变化规律,发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律,推导出该问题的计算公式。

  例1 求99边形的内角和。

  分析与解:三角形的内角和等于180°,可是99边形的内角和怎样求呢?我们把问题简化一下,先求四边形、五边形、六边形……的内角和,找一找其中的规律。

 第16讲 找规律 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  如上图所示,将四边形ABCD分成两个三角形,每个三角形的内角和等于180°,所以四边形的内角和等于180°×2= 360°;同理,将五边形ABCDE分成三个三角形,得到五边形的内角和等于180°×3=540°;将六边形ABCDEF分成四个三角形,得到六边形的内角和等于180°×4=720°。

  通过上面的图形及分析可以发现,多边形被分成的三角形数,等于边数减2。由此得到多边形的内角和公式:

  n边形的内角和=180°×(n-2)(n≥3)。

  有了这个公式,再求99边形的内角和就太容易了。

  99边形的内角和=180°×(99-2)=17460°。

  例2 四边形内有10个点,以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点,最多能剪出多少个小三角形?

  分析与解:在10个点中任取一点A,连结A与四边形的四个顶点,构成4个三角形。再在剩下的9个点中任取一点B。如果B在某个三角形中,那么连结B与B所在的三角形的三个顶点,此时三角形总数增加2个(见左下图)。如果B在某两个三角形的公共边上,那么连结B与B所在边相对的顶点,此时三角形总数也是增加2个(见右下图)。

 第16讲 找规律 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  类似地,每增加一个点增加2个三角形。

  所以,共可剪出三角形 4+ 2× 9= 22(个)。

  如果将例2的“10个点”改为n个点,其它条件不变,那么由以上的分析可知,最多能剪出三角形

  4+2×(n-1)=2n+2=2×(n+1)(个)。

  同学们都知道圆柱体,如果将圆柱体的底面换成三角形,那么便得到了三棱柱(左下图);同理可以得到四棱柱(下中图),五棱柱(右下图)。

  第16讲 找规律 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  如果底面是正三角形、正四边形、正五边形……那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱……

  例3 n棱柱有多少条棱?如果将不相交的两条棱称为一对,那么n棱柱共有多少对不相交的棱?

  分析与解:n棱柱的底面和顶面都是n边形,每个n边形有n个顶点,所以n棱柱共有2n个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形,可以看出,每个顶点都与三条棱相连,而每条棱连接 2个顶点,所以n棱柱共有棱 2n×3÷2=3n(条)。

  进一步观察可以发现,n棱柱中每条棱都与4条棱相交,与其余的3n-4-1 =(3n-5)条棱不相交。共有3n条棱,所以不相交的棱有 3n×(3n- 5)(条),因为不相交的棱是成对出现的,各计算一遍就重复了一遍,所以不相交的棱共有

  3n×(3n-5)÷2(对)。

  例4 用四条直线最多能将一个圆分成几块?用100条直线呢?

  分析与解:4条直线时,我们可以试着画,100条直线就不可能再画了,所以必须寻找到规律。如下图所示,一个圆是1块;1条直线将圆分为2块,即增加了1块;2条直线时,当2条直线不相交时,增加了1块,当2条直线相交时,增加了2块。由此看出,要想分成的块尽量多,应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。

 第16讲 找规律 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  再画第3条直线时,应当与前面2条直线都相交,这样又增加了3块(见左下图);画第4条直线时,应当与前面3条直线都相交,这样又增加了4块(见右下图)。所以4条直线最多将一个圆分成1+1+2+3+4=11(块)。

 第16讲 找规律 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  由上面的分析可以看出,画第n条直线时应当与前面已画的(n—1)条直线都相交,此时将增加n块。因为一开始的圆算1块,所以n条直线最多将圆分成

  1+(1+2+3+…+n)

  =1+n(n+1)÷2(块)。

  当n=100时,可分成

  1+100×(100+1)÷2=5051(块)。

  例5 用3个三角形最多可以把平面分成几部分?10个三角形呢?

  分析与解:平面本身是1部分。一个三角形将平面分成三角形内、外2部分,即增加了1部分。两个三角形不相交时将平面分成3部分,相交时,交点越多分成的部分越多(见下图)。

 第16讲 找规律 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  由上图看出,新增加的部分数与增加的交点数相同。所以,再画第3个三角形时,应使每条边的交点尽量多。对于每个三角形,因为1条直线最多与三角形的两条边相交,所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交,共可产生3×(2×2)= 12(个)交点,即增加12部分。因此, 3个三角形最多可以把平面分成

  1+1+6+12= 20(部分)。

  由上面的分析,当画第n(n≥2)个三角形时,每条边最多与前面已画的(n—1)个三角形的各两条边相交,共可产生交点

  3×[(n—l)×2]=6(n—1)(个),能新增加6(n-1)部分。因为1个三角形时有2部分,所以n个三角形最多将平面分成的部分数是

  2+6×[1+2+…+(n—1)]

   第16讲 找规律 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

  当n=10时,可分成2+3×10×(10—1)=272(部分)。

 

 

练习16

  1.求12边形的内角和。

  2.五边形内有8个点。以五边形的5个顶点和这8个点为三角形的顶点,最多能剪出多少个小三角形?

  3.已知n棱柱有14个顶点,那么,它有多少条棱?

  4.n条直线最多有多少个交点?

  5.6条直线与2个圆最多形成多少个交点?

  6.两个四边形最多把平面分成几部分?

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谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

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