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静心阁--漳平附小六(6)班

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关于我

小学数学高级教师,本科学历,市骨干教师。长期担任班主任工作,所带班级班风 、学风优良, 1次被评为省少先队先锋中队,3次被评为市先进班集体、市少先队红旗中队, 4次被评为市“优秀少先队辅导员”、市“优秀班主任”等荣誉。长期担任小学高年级数学教学工作,有丰富的高年级数学教学经验,十多篇教育教学论文在国家级、省级、市级发表或得奖, 教育教学效果好,任教学科成绩优异, 3次被市委、市府评为“ 教书育人先进个人 ”。个人教育格言:勤勤恳恳教书,踏踏实实育人。

第22讲 用割补法求面积  

2010-01-22 16:20:59|  分类: 五年级数学广角 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2009年5月5日 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ第22讲 用割补法求面积

  在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。

  例1求下列各图中阴影部分的面积:

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎 小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  分析与解:(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

  π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  (2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

  如下图所示,将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出,原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积,为5×5=25。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  例2在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  分析与解:阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

  (1)割补法

  从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎  

  (2)拼补法

  将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。

  小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

 小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  (3)等分法

  将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形,

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  注意,后两种方法对任意三角形都适用。也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。

  例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。求这个梯形的面积。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  分析与解:因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是(9×9-5×5)÷4=14(厘米2)。

  例4在左下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎 小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  分析与解:题中给出了两个似乎毫无关联的数据,无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形(见右上图)。因为A与A′,B与B′面积分别相等,所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24,所以甲的面积,即所求矩形的面积也是24。

  例5下图中,甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米,甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  分析与解:如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙,所剩的A,B,C三部分之和就是40厘米2(见左下图)。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  把C割下,拼补到乙正方形的上面(见右上图),这样A,B,C三块就合并成一个长20厘米的矩形,面积是40厘米2,宽是40÷20=2(厘米)。这个宽恰好是两个正方形的边长之差,由此可求出乙正方形的边长为(20-2)÷2=9(厘米),从而乙正方形的面积为9×9=81(厘米2)。

   

练习22

  1.求下列各图中阴影部分的面积:

  (1)小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎 (2)小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧(见下图),直角边长4厘米,求图中阴影部分的面积。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  3.在左下图所示的等腰直角三角形中,剪去一个三角形后,剩下的部分是一个直角梯形(阴影部分)。已知梯形的面积为36厘米2,上底为3厘米,求下底和高。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  4.在右上图中,长方形AEFD的面积是18厘米2,BE长3厘米,求CD的长。

  5.下图是甲、乙两个正方形,甲的边长比乙的边长长3厘米,甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

  6.求下图(单位:厘米)中四边形ABCD的面积。

小学五年级奥数专题讲座22:用割补法求面积 - 小草 - ⑦埰梦圎

谢谢 - ぶ順⑦釨繎ぶ - ぶ順⑦釨繎ぶ

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